Похідна, первісна та інтеграл — важливі складові теми «Функції», які потрібно опрацювати під час підготовки до НМТ з математики. На перший погляд формули можуть здаватися складними, але більшість типових завдань розв’язується за чітким алгоритмом: визначити потрібне правило, виконати обчислення та перевірити результат.
У цьому матеріалі розберемо, що потрібно знати про похідну та інтеграл, повторимо основні формули й покроково розв’яжемо типові завдання.
Що входить до теми «Похідна, первісна та інтеграл» на НМТ
За чинною програмою ЗНО з математики, на основі якої формується зміст НМТ, похідна, первісна та визначений інтеграл належать до розділу «Функції». Програма передбачає знання похідної та її застосування у дослідженні функцій, первісної, визначеного інтеграла й використання інтеграла для розв’язування прикладних задач.
Окремої гарантованої кількості завдань саме на похідні та інтеграли УЦОЯО не встановлює. У математичному блоці НМТ-2026 загалом 22 завдання різних типів, тому під час підготовки варто орієнтуватися не на кількість прикладів, а на опрацювання всіх основних способів застосування теми.
Похідна та первісна є взаємопов’язаними поняттями. Якщо похідна показує, як змінюється функція, то первісна — це функція, похідна якої дорівнює заданій. Визначений інтеграл дає змогу обчислювати накопичене значення величини, зокрема площу фігури.
Запам’ятайте: похідна — характеризує зміну; первісна — є оберненою дією до диференціювання; інтеграл — дає змогу підсумувати значення на певному проміжку.
Похідна функції: означення та геометричний зміст
Похідною функції (f(x)) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу: [f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f}{\Delta x}.]
На практиці під час НМТ важливо швидко знаходити похідну елементарних функцій і правильно застосовувати правила диференціювання.
Геометричний зміст похідної полягає в тому, що (f'(x_0)) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці (x_0). Знак похідної також допомагає визначити характер зміни функції: якщо (f'(x)>0), функція зростає, а якщо (f'(x)<0) — спадає.
Фізичний зміст похідної використовується в задачах про рух. Якщо координата матеріальної точки описується функцією (s(t)), її миттєва швидкість визначається формулою: [v(t)=s'(t).]
Таблиця похідних функцій
| Функція | Похідна |
| (C) | (0) |
| (x) | (1) |
| (x^\alpha) | (\alpha x^{\alpha-1}) |
| (\sqrt{x}) | (\frac{1}{2\sqrt{x}}) |
| (e^x) | (e^x) |
| (\ln x) | (\frac1x) |
| (\sin x) | (\cos x) |
| (\cos x) | (-\sin x) |
| (\tg x) | (\frac1{\cos^2x}) |
Ці формули наведені й у довідкових матеріалах НМТ-2026, тому під час підготовки важливо вміти не лише запам’ятати їх, а й застосовувати в комбінації з правилами диференціювання.
Правила диференціювання
Якщо функція складається з кількох частин, використовують основні правила диференціювання.
Сума та різниця: [(u+v)’=u’+v’, \qquad (u-v)’=u’-v’.]
Наприклад: [f(x)=x^3+\sin x,] тому [f'(x)=3x^2+\cos x.]
Добуток: [(uv)’=u’v+uv’.]
Наприклад: [f(x)=x^2\sin x,] [f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x.]
Частка: [\left(\frac uv\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.]
Для [f(x)=\frac{x^2}{x+1}] маємо: [f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}.]
Складена функція: [(f(g(x)))’=f'(g(x))\cdot g'(x).]
Наприклад: [(\sin3x)’=3\cos3x.]
Найчастіше помилка виникає тоді, коли під час знаходження похідної складеної функції забувають помножити результат на похідну внутрішньої функції.
Первісна та невизначений інтеграл
Первісна функції (f(x)) — це функція (F(x)), для якої: [F'(x)=f(x).]
Отже, знаходження первісної є дією, оберненою до диференціювання. Наприклад, якщо [f(x)=3x^2,] то [F(x)=x^3+C,] оскільки похідна (x^3+C) дорівнює (3x^2).
Таблиця первісних функцій
| (f(x)) | Первісна | ||
| (0) | (C) | ||
| (1) | (x+C) | ||
| (x^\alpha,\ \alpha\ne-1) | (\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C) | ||
| (\frac1x) | (\lnx+C) | ||
| (e^x) | (e^x+C) | ||
| (\sin x) | (-\cos x+C) | ||
| (\cos x) | (\sin x+C) | ||
| (\frac1{\cos^2x}) | (\tg x+C) |
Загальний вигляд невизначеного інтеграла: [\int f(x),dx=F(x)+C.]
Важливо: коли знаходите первісну, не забувайте про довільну сталу (C). Саме її відсутність є однією з типових помилок у завданнях.
Визначений інтеграл і площа криволінійної трапеції
Визначений інтеграл пов’язаний із накопиченням значень функції на певному проміжку. Якщо (F(x)) — первісна для (f(x)), застосовують формулу Ньютона-Лейбніца: [\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a).]
Якщо (f(x)\geq0) на відрізку ([a;b]), то площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, віссю (Ox) та прямими (x=a) і (x=b), обчислюється так: [S=\int_a^b f(x),dx.]
Якщо частина графіка розташована нижче осі (Ox), значення інтеграла буде від’ємним. Але геометрична площа не може бути від’ємною, тому потрібно враховувати знак функції та розглядати відповідні ділянки окремо.
Покроковий розбір типових завдань НМТ
1.Завдання на знаходження похідної функції
Умова. Знайдіть похідну функції: [f(x)=4x^3-5x+\cos x.]
Розв’язання:
- Знаходимо похідні окремих доданків:
[(4x^3)’=12x^2,\quad (-5x)’=-5,\quad(\cos x)’=-\sin x.]
- Об’єднуємо результати: [\boxed{f'(x)=12x^2-5-\sin x}.]
Використали: таблицю похідних і правило похідної суми.
2.Завдання на фізичний зміст похідної
Умова. Рух матеріальної точки описується законом: [s(t)=t^3-3t^2+2t.]
Знайдіть швидкість точки в момент (t=2).
Розв’язання:
- За фізичним змістом похідної: [v(t)=s'(t).]
- Знаходимо похідну: [v(t)=3t^2-6t+2.]
- Підставляємо (t=2): [v(2)=3\cdot4-12+2=2.]
Відповідь: (2) м/с.
Використали: зв’язок між координатою та миттєвою швидкістю.
3.Завдання на знаходження первісної
Умова. Знайдіть загальний вигляд первісної функції: [f(x)=6x^2-4x+3.]
Розв’язання:
Інтегруємо кожен доданок: [\int6x^2dx=2x^3,] [\int-4xdx=-2x^2,] [\int3dx=3x.]
Додаємо сталу: [\boxed{F(x)=2x^3-2x^2+3x+C}.]
Перевірка: [F'(x)=6x^2-4x+3.]
Використали: таблицю первісних та властивість інтеграла суми.
4.Завдання на обчислення визначеного інтеграла
Умова. Обчисліть: [\int_0^2(2x+1),dx.]
Розв’язання:
- Знаходимо первісну: [F(x)=x^2+x.]
- Застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца: [F(2)-F(0).]
- Обчислюємо: [(4+2)-0=6.]
Відповідь: (\boxed{6}).
5.Завдання на обчислення площі
Умова. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком (y=x), віссю (Ox) та прямими (x=0) і (x=3).
Оскільки (x\geq0) на цьому відрізку:[S=\int_0^3x,dx.]
Первісна: [F(x)=\frac{x^2}{2}.]
Тоді: [S=\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\boxed{\frac92}.]
Використали: визначений інтеграл для обчислення площі плоскої фігури.
Типові помилки на НМТ
Навіть добре знаючи формули, можна втратити бал через одну неточність. Найчастіше учні:
- неправильно застосовують похідну добутку або частки;
- забувають множник, коли знаходять похідну складеної функції;
- плутають похідну та первісну;
- забувають сталу (C);
- неправильно підставляють верхню або нижню межу інтеграла;
- плутають значення визначеного інтеграла з геометричною площею;
- неправильно трактують фізичний зміст похідної в задачах про рух.
Перед вибором відповіді перевірте три речі: що потрібно знайти, яку формулу треба застосувати та чи правильно виконані обчислення.
Як ефективно готуватися до цієї теми
Найзручніше вивчати тему послідовно:
- повторити таблицю похідних функцій;
- відпрацювати правила суми, добутку, частки та складеної функції;
- повторити застосування похідної для дослідження функцій;
- вивчити таблицю первісних і сталі, коли знаходите похідну;
- опрацювати визначений інтеграл та формулу Ньютона-Лейбніца;
- розв’язати типові завдання НМТ математика різних форматів.
Для швидкого повторення перед тестом зручно використовувати картки з формулами або власну коротку таблицю. Але механічного заучування недостатньо: кожну формулу варто закріплювати кількома практичними прикладами.
Обов’язково тренуйтеся на офіційних демонстраційних варіантах НМТ. УЦОЯО рекомендує їх для ознайомлення з форматом тестування, розподілу часу та визначення тем, які потребують додаткового опрацювання.
Висновок
Щоб упевнено виконувати завдання на похідну НМТ та інтеграл НМТ, потрібно знати таблицю похідних і первісних, правила диференціювання, похідну складеної функції, сталу (C) та формулу Ньютона-Лейбніца. Також важливо розуміти геометричний і фізичний зміст похідної та вміти використовувати визначений інтеграл для обчислення площі плоскої фігури.
Ця тема тісно пов’язана з іншими питаннями розділу «Функції», тому системна підготовка до НМТ з математики допоможе не просто запам’ятати формули, а швидко визначати спосіб розв’язання навіть у незнайомому завданні.
Хочете системно підготуватися до НМТ? Ознайомтеся з іншими статтями ZNO Grant, а саме: Підготовка до НМТ 2025 з математики: секрети успішного складання тесту та Геометрія на НМТ: основні формули та алгоритми, дізнайтеся більше про курси НМТ з математики та методику центру. Також ви можете записатися на безкоштовний пробний урок, щоб визначити свій рівень і отримати рекомендації щодо подальшої підготовки. Щоб перейти до контактів, клікайте сюди.
